Espace localement compact - Compacité locale
Définition
Définition d'un espace localement compact :
- soit \((E,d)\) un espace métrique
- tout point de \(E\) admet un voisinage compact : $$\forall x\in E,\qquad x\in U\subset V_x\text{ compact}$$
$$\Huge\iff$$
- on dit que \((E,d)\) est localement compact
(
Voisinage,
Compact - Compacité)
[!Exercice]
\({\Bbb R}^d\) est localement compact, et les ouverts et les fermés aussi
Propriétés
Régularité dans les espaces localement compacts :
- soit \((E,d)\) un espace métrique
- \(E\) est localement compact
- \(E\) est séparable
- soit \(\mu\) une mesure de Radon sur \(E\)
$$\Huge\iff$$
- \(\mu\) est régulière : \(\forall A\in{\mathcal B}(E)\), $$\mu(A)=\begin{cases}\inf\{\mu(U)\mid U\supset A, U\text{ ouvert}\}\\ \sup\{\mu(K)\mid K\subset A,K\text{ compact}\}\end{cases}$$